Tip:
Highlight text to annotate it
X
Có lẽ tốt nhất là tôi thuật lại những trải nghiệm làm toán vừa qua của mình.
Nó giống như khi bạn bước vào một tòa nhà không chút ánh sáng.
Vào căn phòng đầu tiên. Tối như mực.
Bạn dò dẫm từng bước một. Va vấp phải đồ đạc trong phòng.
Dần dần nhận ra vị trí mỗi thứ.
Rồi cuối cùng, chừng sáu tháng sau, bạn tìm ra cái công tắc.
Bật lên và đột nhiên tất cả bừng sáng.
Lúc này bạn biết đích xác rằng mình đang ở đâu.
ANDREW WILES
Vào đầu tháng Chín, tôi ngồi ở đây, tại cái bàn này.
Khi ấy đột nhiên hoàn toàn bất ngờ.
Hơn hết thảy,...
tôi có phát kiến lạ thường này.
Đây là khoảnh khắc quan trọng nhất trong sự nghiệp toán học của tôi...
Không bao giờ có thể lập lại được nữa!
Xin lỗi...!
Đây là câu chuyện kể về nỗi day dứt của một người...
về một bài toán nổi tiếng nhất thế giới.
Bảy năm ròng, giáo sư Andrew Wiles...
phải làm việc hoàn toàn biệt lập với thế giới toán học bên ngoài
để sáng tạo cách chứng minh bài toán của thế kỷ.
Đó là phép chứng minh...
đã mang cho ông vinh quang lẫn nuối tiếc...
Tôi biết được bài toán này vào năm tôi 10 tuổi.
Một ngày nọ, trong lúc tình cờ lục tìm...
trong thư viện công cộng gần nhà,
tôi bắt gặp một cuốn sách toán,
có đoạn, viết về lịch sử bài toán này...
mà cách đây 300 năm, có người đã giải được nó.
Tuy nhiên cho tới bây giờ, chưa ai nhìn thấy bài giải.
Không ai biết có cách chứng minh bài toán.
Từ đó người ta đi tìm cách giải nó.
Đây là một bài toán, mà tôi,
một cậu bé 10 tuổi có thể hiểu được.
Trong quá khứ, chưa nhà toán học lớn nào giải được bài toán.
Tất nhiên, từ giây phút đó, tôi quyết cố gắng giải bài toán này.
Quả là một thách thức !
Một bài toán đẹp làm sao !
Nó chính là "Định lý cuối cùng của Fermat"
Pierre de Fermat là nhà toán học Pháp, thế kỷ 17
người đã làm nên những đột phá vĩ đại trong lịch sử các con số.
Nguồn cảm hứng của ông có được bằng việc nghiên cứu số học, từ một văn bản tiếng Hy Lạp cổ.
Fermat có trong tay bản sao văn bản này,
nó viết về số học với nhiều bài toán.
Có lẽ đó là những bài mà Fermat bỏ công ra giải.
Ông đã nghiên cứu...
và ghi chú vào lề tập sách.
Nguyên bản ghi chú của Fermat giờ đây đã thất lạc.
Nhưng chúng ta còn có thể đọc nội dung của nó trong một cuốn sách do con trai ông xuất bản.
Đó là một trong những ghi chú được coi là di sản lớn nhất của Fermat.
Và đây là chú giải khác thường của ngài Pierre de Fermat.
Nó gây nên biết bao là thắc mắc cho hậu thế.
"Cubum autem in duos cubos" ("Một lập phương không thể bằng tổng hai lập phương")
Chú giải ngắn này lại là bài toán hóc búa cho giới toán học.
Nhiều thế kỷ qua chưa ai giải được và giờ người ta vẫn còn tiếp tục giải nó.
Bài toán biểu diễn bởi một phương trình đại số đơn giản, tới mức trẻ con cũng có thể học thuộc lòng.
Bình phương cạnh huyền,
thì bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại.
Vâng! Đó chính là định lý Pytago.
Thế ư? Định lý này chúng ta đã học ở trung học mà!
Đúng vậy. Định lý Pytago.
Từ đó ta suy ra rằng:
Khi ba số là chiều dài ba cạnh một tam giác vuông,
thì ắt sẽ là: x² + y² = z².
x² + y² = z².
Bạn sẽ hỏi:
"Thế toàn bộ nghiệm của phương trình này là gì?"
Nhanh chóng, bạn có: 3² + 4² = 5².
Và một nghiệm khác là: 5² + 12² = 13².
Thế là bạn đi tìm và tìm mãi.
Rồi thì vấn đề tự nhiên nảy sinh là,
Giả sử bạn bắt đầu thay đổi từ "số mũ 2" (đây cũng chính là ý mà Fermat đã gợi ra)
Thay 2 bằng 3,
bằng 4,
bằng 5,
bằng 6,
bằng với mọi n,
Fermat phát biểu một cách ngắn gọn rằng: "Ta không tìm thấy lời giải nào!"
Dù bằng cách nào đi chăng nữa,
bạn cũng không bao giờ tìm ra lời giải.
Bạn không thể nào chỉ ra những số thỏa mãn phương trình này,
nếu n > 2.
Đó là những gì Fermat đã viết.
Thêm nữa ông còn cho rằng, đã chứng minh được nó.
trong khoảnh khắc phấn khích, ông viết nguệch ngoạc chú thích bí hiểm sau đây...
bằng tiếng Latinh, rằng mình đã có:
"Demonstrationem mirabilem" ("Một chứng minh tuyệt vời")
Rồi ông viết dòng cuối cùng:
"Hanc marginis exigiutas non caperet" ("Nhưng lề sách hẹp quá, không đủ để viết")
Fermat bảo rằng ông đã chứng minh,
nhưng chưa bao giờ chỉ ra nó là gì.
Fermat thường hay viết ghi chú vào các lề sách.
Để mọi người phải xem chúng như là những thách thức.
Nhiều thế kỷ trôi qua, mỗi chú thích như thế đã được làm sáng tỏ.
Và chú thích cuối cùng chưa chứng minh được, là bài toán này.
Vì vậy nó được gọi là "Định lý cuối cùng"
Khám phá ra chứng minh của Fermat đã trở nên một thách thức tối thượng,
mà mãi cho tới 300 năm sau vẫn còn làm đau đầu các nhà toán học lớn như:
Gauss, nhà toán học vĩ đại nhất thế giới...
Ồ vâng, Galois nữa!
Dĩ nhiên, không thiếu ***,
Ồ! Trong thế kỷ 18, Euler không chứng minh được nó.
Bạn biết rằng chỉ có một nhà nữ toán học...
quan tâm đến bài toán, là Sophie Germain.
Ôi! Có hàng triệu nhà toán học. và nhiều người làm toán không chuyên nghiệp...
thế nhưng không ai có bất kỳ ý tưởng nào để bắt đầu.
Các nhà toán học thì lại ưa thử thách.
Trong khi bài toán này khá quyến rũ vì thoạt nhìn nó quá đơn giản.
Trông nó có vẻ như là có lời giải.
Và dĩ nhiên, nó rất đặc biệt,
bởi vì Fermat nói rằng ông đã giải được nó.
Các nhà toán học phải chứng minh không có số nào nghiệm đúng phương trình.
Ngay trong thời đại máy tính,
để chứng tỏ không số nào thỏa mãn phương trình.
họ cũng không thể kiểm tra từng số một.
Vậy có bao nhiêu số nghiệm đúng phương trình nhỉ?
Bạn phải thực hiện vô hạn số như vậy.
Như thế, sau khi bạn thực hiện xong một kết quả, thì còn bao nhiêu nữa?
Vâng, hãy còn vô số lần thử như thế nữa.
Sau khi thực hiện với một ngàn số,
thì bạn còn phải làm bao nhiêu nữa?
À vâng, còn vô số lần thử như thế nữa.
Sau khi bạn thực hiện với một triệu số?
Ồ! Vẫn còn vô số lần thử như vậy nữa!
Thực tế là, bạn không thể làm mãi như thế được, phải không?
Ngay cả máy tính cũng không thể kiểm tra được mọi số.
Thay vào đó, những gì chúng ta cần là một chứng minh (toán học).
Bất kỳ nhà toán học nào cũng không thể an tâm khi phép chứng minh chưa được hoàn tất,
chưa được xem xét đầy đủ bởi những chuẩn mực toán học.
Trong toán học, có nhiều khái niệm là nền tảng để chứng minh cho cái khác,
vì vậy sự hiểu biết về nó phải cặn kẽ.
Điều đó...nói lên "tính chặt chẽ".
Đó là đặc điểm của toán học.
Phép chứng minh bài toán này phải là một chuỗi dữ kiện được giải thích đầy đủ.
Là không có số nào thỏa mãn phương trình, mà không cần phải kiểm tra mọi số.
Sau nhiều thế kỷ thất bại trong tìm kiếm cách chứng minh.
Các nhà toán học bắt đầu quên bài toán Fermat, vì có nhiều vấn đề toán học quan trọng khác cần phải quan tâm.
Vào những năm 70, "Định lý Fermat" không còn hấp dẫn nữa.
Khi đó, Andrew mới bắt đầu sự nghiệp của mình...
như một nhà toán học.
Ông đến Đại học Cambridge...
làm nghiên cứu sinh, dưới sự hướng dẫn của giáo sư John Coates.
Tôi thật may mắn khi hướng dẫn một sinh viên như Andrew.
Khi còn là nghiên cứu sinh, anh ấy đã là một mẫu người tuyệt vời trong hợp tác khoa học.
Có những ý tưởng sâu sắc,
trong sáng.
Anh ấy là nhà toán học làm được những điều vĩ đại.
Nhưng không phải với Định lý Fermat.
Vì ai cũng nghĩ, với Định lý Fermat là không thể !
Thế là Coates khuyên Andrew...
Hãy quên đi giấc mơ thời niên thiếu để nghiên cứu dòng toán học chính thống.
"Khi tới Đại học Cambridge, giáo sư hướng dẫn tôi là John Coates"
Ông đang nghiên cứu "Lý thuyết Iwasawa" về "họ đường cong elliptic"
và tôi bắt đầu làm việc với ông,
bằng cách nghiên cứu Họ đường cong elliptic "đóng".
Nhưng khổ thay, Họ đường cong elliptic không phải là các Ellip mà cũng không phải là đường cong.
Có lẽ các bạn chưa từng nghe về Họ đường cong elliptic ?
Nhưng chúng cực kỳ quan trọng.
Vậy, Họ đường cong elliptic là gì?
Họ đường cong elliptic không phải là các Ellip.
Chúng là những đường cong bậc 3
Nghiệm (hình học) của nó có dạng giống như cái bánh rán hình xuyến.
Trông có vẻ đơn giản, chưa có gì rắc rối, đặc biệt trong lý thuyết số.
Phức tạp là ở bài toán tổng quát.
Mỗi điểm trên bánh rán hình xuyến là nghiệm một phương trình.
Giờ đây Andrew Wiles nghiên cứu các Phương trình elliptic này
và gác sang bên ước mơ thời niên thiếu của ông.
Nhưng nếu những gì ông không thể thực hiện được tại đây,
thì ở phía bên kia đại dương, "Họ đường cong elliptic"
và "Định lý cuối cùng của Fermat" lại có mối liên hệ mật thiết.
Tôi vào học Đại học Tokyo năm 1949,
bốn năm sau Thế chiến II kết thúc.
Hầu hết các thầy của tôi đều mệt mỏi,
các bài giảng thì không tạo cảm hứng cho sinh viên.
Goro Shimura và các bạn sinh viên...
phải động viên nhau học tập.
Cụ thể là ông đã có sự cộng tác đáng nhớ...
với một thanh niên tên là Yutaka Taniyama.
Đó là thời kỳ tôi rất gần gũi với Taniyama.
Taniyama không phải là mẫu người cẩn trọng như thường thấy ở một nhà toán học.
Anh ấy hay mắc phải sai lầm...
nhưng nó thường dẫn tới một hướng có lý,
nên rốt cuộc anh ấy lại có những kết luận đúng.
Tôi cố bắt chước anh ấy...
nhưng thấy rằng mình thật khó có được những "sai lầm" giá trị như anh.
Taniyama và Shimura cùng nhau nghiên cứu...
các Hàm modular trên trường số phức.
Thực sự tôi không thể giải thích nỗi Hàm modular là gì chỉ trong một câu nói.
Tôi cố thử giúp các bạn một vài câu giải thích.
Quả tôi không thể diễn đạt được trong một câu nói.
Ồ! Thật không thể!
Có một phát biểu được cho là của Eichler, rằng:
Có 5 phép toán làm nền tảng cho số học là:
Cộng, trừ, nhân, chia và các dạng modular.
Các dạng modular là những hàm trên mặt phẳng phức.
Nó là những dạng đối xứng hoàn hảo.
(Cũng đúng với nhiều dạng tự đối xứng như thế)
dù sự tồn tại hiếm hoi của chúng có vẻ ngẫu nhiên.
Nhưng chúng thật sự tồn tại.
Diễn họa này đơn giản là ảnh của một dạng modular
Để có một minh họa thích hợp, giả sử màn hình tivi của bạn có thể kéo căng ra được.
Lúc này nó sẽ biến thành cái gọi là "Không gian hyperbolic"
Các dạng modular kì dị này dường như không có gì...
giống như 'Họ đường cong elliptic' đã được làm "đều" hóa.
Nhưng những gì mà Taniyama và Shimura phát biểu đã gây sốc cho mọi người.
Chẳng qua là vào năm 1955, có một Hội nghị Toán học quốc tế
Taniyama đưa ra vài ba vấn đề gì đó.
Những vấn đề mà Taniyama đề xuất đã dẫn tới khẳng định lạ thường là:
"Mỗi đường cong elliptic thực sự ngụy trang một dạng modular"
Khẳng định này trở nên nổi tiếng với tên là "Giả thuyết Taniyama-Shimura"
Giả thuyết Taniyama-Shimura nói gì?
Rằng: Mỗi phương trình elliptic là một dạng modular
Thật khó mà diễn giải !
Để tôi giải thích cho.
Bên này nhé, bạn có thế giới elliptic, (họ đường cong elliptic) là những bánh rán vòng xuyến.
Còn bên này, bạn có thế giới modular,
các dạng modular, với muôn vàn kiểu đối xứng.
Giả thuyết Taniyama-Shimura là chiếc cầu nối giữa hai "hòn đảo" toán học này.
Hai thế giới toán học này như tồn tại trên hai "hành tinh" khác nhau.
Giả thuyết Taniyama-Shimura là chiếc cầu nối.
Và hơn thế, nó còn hàm chứa cả những vấn đề như:
hoài nghi, trực giác và nhận thức.
Những định lý trong đối tượng toán học này
được diễn dịch sang những hoài nghi, trực giác bởi đối tượng toán học khác.
Tôi cho rằng, khi lần đầu tiên Shimura và Taniyama
bàn về mối liên hệ giữa...
họ đường cong elliptic và các dạng modular
thì mọi người không tin mấy.
Khi ấy tôi chưa nghiên cứu toán học (hãy còn là nghiên cứu sinh) ,
tức là khoảng 1969 hay 1970 gì đó...
thì mọi người mới dần dà tin vào giả thuyết này.
Thực tế, giả thuyết Taniyama-Shimura đã trở thành nền tảng...
cho một số lý thuyết toán học.
Dù gì đi nữa thì Taniyama-Shimura cũng chỉ là một giả thuyết, một ý tưởng...
cho đến khi nó được chứng minh.
Hết thảy những đối tượng toán học dựa vào nó đều hết sức mong manh.
Càng ngày chúng ta xây dựng càng nhiều giả thuyết...
vươn xa mãi vào tương lai,...
nhưng hết thảy chúng sẽ hoàn toàn đổ vỡ...
nếu một khi Giả thuyết Taniyama-Shimura không còn đúng.
Việc chứng minh Giả thuyết Taniyama-Shimura càng trở nên bức thiết nhưng cũng đầy bi kịch.
Người mà ý tưởng của mình đã chịu ảnh hưởng từ Giả thuyết Taniyama-Shimura,
không còn sống để thấy tác động to lớn của nó đối với toán học.
Năm 1958, Taniyama tự tử!
Tôi vô cùng bàng hoàng,
Bàng hoàng hẳn là chữ dùng đúng nhất.
Quả thật, tôi quá đau buồn...
vì bất ngờ quá.
Tôi không thể nào lường hết những mất mát này.
Taniyama-Shimura vẫn là một giả thuyết toán học nổi tiếng nhất...
chưa được chứng minh.
Nhưng nó có ý nghĩa gì cho Định lý cuối cùng của Fermat.
Vào lúc đó, không ai có bất kỳ ý nghĩ nào,
cho rằng: Giả thuyết Taniyama-Shimura có thể làm gì được cho Định lý Fermat.
Tuy nhiên, cho đến những năm 80 thì mọi sự đã đổi khác.
Giả thuyết Taniyama-Shimura cho rằng: "Mỗi đường cong elliptic là một dạng modular".
Còn Fermat thì bảo: "Không có số nào nghiệm đúng phương trình Fermat"
Giữa chúng có mối liên hệ nào chăng?
♪ One way or another
♪ I'm gonna find you
♪ I'm gonna getcha getcha getcha getcha...
♪ One way or another
♪ I'm gonna win ya.
♪ I'm gonna getcha getcha getcha getcha
♪ One way or another
♪ I'm gonna see ya
♪ I'm gonna meetcha meetcha meetcha meetcha
Thế đấy, bề ngoài thì Giả thuyết Taniyama-Shimura,
nói về các phương trình elliptic,
không dính dáng gì tới Định lý Fermat cả.
Vì xem ra không có mối liên hệ nào giữa Định lý Fermat và Phương trình elliptic.
Thế nhưng năm 1985, Gerhard Frey đưa ra khẳng định làm kinh ngạc giới toán học.
Frey, một nhà toán học Đức, cho rằng không thể tưởng tượng nỗi những gì sẽ xảy ra...
nếu Định lý Fermat không còn đúng,
nghĩa là rốt cuộc thì phương trình này cũng có nghiệm.
Frey dùng phản chứng bằng cách...
bắt đầu với giả định rằng phương trình Fermat có nghiệm.
Thật vậy, nếu tồn tại một nghiệm 'đáng sợ' như vậy
thì Frey có thể chỉ ra một phương trình elliptic có một số đặc điểm rất bất thường.
Phương trình elliptic này có vẻ như không phải là dạng modular
Trong khi đó Shimura-Taniyama lại bảo rằng mỗi phương trình elliptic là một dạng modular
Như thế nếu phương trình Fermat có nghiệm,
thì nó tạo ra một phương trình elliptic "kỳ quặc" mâu thuẫn với Giả thuyết Taniyama-Shimura
Nói khác đi, nếu Định lý Fermat sai thì Giả thuyết Shimura-Taniyama cũng sai.
Hoặc ngược lại, nếu Giả thuyết Taniyama-Shimura đúng...
thì Định lý Fermat cũng đúng.
Giờ đây đã có sự liên kết giữa Định lý Fermat và Giả thuyết Taniyama-Shimura.
Hai mặt của một vấn đề.
Lập luận: Phương trình elliptic không phải là Dạng modular của Frey...
không thực sự được chứng minh.
Ông đã đưa ra một luận cứ có vẻ đáng tin cậy...
để hy vọng rằng sẽ được mọi người bổ sung đầy đủ.
Thế rồi các chuyên gia bắt tay vào việc.
Về mặt lý thuyết, bạn có thể chứng minh Định lý Fermat từ việc chứng minh Giả thuyết Taniyama-Shimura,
với điều kiện là lập luận của Frey đúng.
Ý tưởng của Frey trở nên nổi tiếng với tên gọi là: Giả thuyết epsilon
và mọi người cố gắng kiểm tra nó.
Một năm sau, tại San Francisco, đã có bước đột phá.
Gặp Barry Mazur ở văn phòng khoa, tôi mời:
"Uống cà phê nhé!"
Chúng tôi nhấm nháp ly Cappucino ở tiệm cà phê gần trường.
Chăm chú nhìn Barry, tôi nói:
Như anh biết, tôi đang cố gắng tổng quát những gì mình đã làm...
để chúng ta có thể chứng minh hoàn toàn Giả thuyết epsilon của Serre.
Barry chăm chú nhìn tôi, rồi nói:
Thì anh đã làm rồi đấy thôi!
Tất cả công việc giờ đây còn phải làm chỉ là thêm một 0-điểm gamma của cấu trúc(M)
rồi tiếp tục với cách lập luận đó...
anh sẽ có mọi cái mà anh cần.
Tại sao tôi không nghĩ ra nhỉ, một điều xem ra quá là đơn giản.
Tôi chăm chăm nhìn Barry rồi lại nhìn ly Cappucino của mình.
Ngoái lại Barry, tôi nói:
Chúa ơi! Anh đúng hoàn toàn.
Ý tưởng của Ken thật tuyệt.
Như thường lệ vào chập tối, tôi nhâm nhi trà đá ở nhà người bạn.
Đang chuyện vãn giữa chừng, đột nhiên anh hỏi tôi:
"À này, cậu có hay tin Ken vừa chứng minh được Giả thuyết epsilon chưa?
Tôi như có điện chạy trong người.
Và tôi biết rằng từ thời khắc này đời tôi sẽ thay đổi,
vì điều này có nghĩa là để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat,
tôi phải chứng minh Giả thuyết Taniyama-Shimura.
Đó là cái tôi phải tiếp tục làm.
Lúc đó, tôi nhận ra mình phải đi về nhà bắt tay làm việc với Giả thuyết Taniyama-Shimura.
Andrew gác lại tất cả các nghiên cứu khác của ông.
Hủy những kỳ nghỉ thường niên.
Cho tới bảy năm sau...
Ông đơn độc dấn thân vào đam mê thời niên thiếu của mình.
Tôi không bao giờ dùng máy tính.
Đôi khi viết nguệch ngoạc những chữ, vẽ linh tinh những hình.
Tôi bắt tay thử tìm những mô hình toán học.
Thế là tôi làm các phép toán,
nhằm mổ xẻ một số bước chứng minh...
và gắng bổ sung vào đó lỗ hổng kiến thức của mình...
về các khái niệm toán học trước đây của tôi ở một số ngành toán.
Có lúc, tôi phải dành tâm trí vào một cuốn sách liên quan
để xem trong đó người ta làm như thế nào.
Đôi lúc, chỉnh lại vài chỗ nhỏ trong chứng minh,
hoặc phải làm một phép tính bổ sung.
Rồi có khi, tôi nhận ra rằng:
những gì mình làm trước đây chẳng dùng được vào việc gì cả.
Vậy tôi phải tìm ra cái gì đó hoàn toàn mới,
nhưng nó nảy sinh từ đâu thì thật là bí ẩn.
Thú thật,...
tôi không tin rằng hiện tại có ai đó
chứng minh được Giả thuyết Shimura-Taniyama
Tôi nghĩ, có lẽ suốt đời mình không thể nhìn thấy được chứng minh này.
Tôi là một trong hàng triệu người tin rằng:
Thật khó mà nắm bắt được hoàn toàn Giả thuyết Shimura-Taniyama
và tôi không lấy làm phiền muộn khi không chứng minh được nó...
ngay cả trong suy nghĩ.
Có lẽ Andrew Wiles, là một trong số ít người trên trái đất...
có một ước mơ táo bạo như thế.
Thậm chí anh còn nuôi ý định chứng minh giả thuyết này.
Lúc này, trong mấy năm đầu tiên, tôi tin chắc chắn rằng...
không sợ phải cạnh tranh với ai.
Đơn giản, khi đó, tôi không cho rằng tôi hay một ai khác có ý nghĩ sẽ chứng minh nó.
Andrew đang dấn bước vào bài toán phức tạp nhất trong lịch sử toán học.
Hai năm đầu tiên, ông chẳng làm gì...
nhưng tâm trí thì đắm chìm trong bài toán,
nỗ lực phác thảo một kế hoạch làm việc.
Thế là giờ đây tôi đã biết được rằng.
Giả thuyết Shimura-Taniyama cũng là Định lý cuối cùng của Fermat.
Giả thuyết Shimura-Taniyama nói gì?
Rằng: Tất cả phương trình elliptic là dạng modular
Vâng, nhưng đây là vấn đề đã cũ...
được biết từ hai mươi năm qua.
Nhiều chuyên gia đã giải quyết xong.
Bây giờ, một cách nhìn khác là: Bạn có tất cả các phương trình elliptic...
và có các họ đường cong elliptic dạng modular.
Giờ bạn cần chứng minh rằng cả hai loại có cùng "số lượng"
Dĩ nhiên ta đang làm việc trên các tập hợp vô hạn.
Thực tế, ta không thể "đếm" được chúng.
Nhưng có thể chia ra làm những "gói" nhỏ,
rồi thử "đếm" xem chúng ra làm sao.
Nhanh chóng, bạn nhận ra rằng đó là ý tưởng cực kỳ hấp dẫn...
Nhưng thật ra bạn không thể gặt hái gì hơn.
Và câu hỏi lớn đặt ra là bạn "đếm" như thế nào?
Rất hiệu quả, Wiles đã đưa ra một kỹ thuật thích hợp.
Thủ thuật của ông là biến đổi các phương trình elliptic...
thành cái gọi là 'Các biểu diễn Galois'
mà ta dễ dàng "đếm" được.
Bây giờ chỉ còn vấn đề là so sánh...
các dạng modular với các biểu diễn Galois...
chứ không phải với các phương trình elliptic.
Bây giờ, bạn có thể nêu ra một vấn đề hiển nhiên là:
Tại sao ta không thể làm như thế với các phương trình elliptic và các dạng modular?
Tại sao không thể "đếm" các phương trình elliptic,...
"đếm" các dạng modular để chỉ ra rằng chúng cùng "số lượng"
Ồ, câu trả lời là:
Người ta đã cố gắng nhưng không tìm ra được cách "đếm" chúng
và điều này lý giải tại sao đây là chìa khóa mở lối cho tôi.
Tôi không tìm cách "đếm" từ bài toán gốc...
nhưng từ bài toán đã được hiệu chỉnh.
Tôi tìm ra cách "đếm" các dạng modular và các biểu diễn Galois.
Nhưng đây chỉ là bước đầu tiên...
và rồi công đoạn này đã lấy Andrew mất ba năm trời.
Khi ấy, vợ tôi chưa biết tôi đang làm việc với bài toán Fermat...
Với quyết định rằng, sẽ chỉ dành thì giờ cho bài toán Fermat và cho gia đình.
Nên mấy ngày sau lễ cưới, tôi cho vợ tôi hay việc này.
Thế là tôi tìm ra được phép "đếm" cơ học tuyệt vời...
và tôi bắt đầu nghĩ về bài toán cụ thể này,
dưới dạng Lý thuyết Iwasawa.
Khi còn là nghiên cứu sinh, tôi đã nghiên cứu Lý thuyết Iwasawa.
Thật vậy, cùng với giáo sư hướng dẫn John Coates,
tôi dùng nó để phân tích các phương trình Elliptic.
Lý thuyết Iwasawa có khả năng giúp tôi...
tạo ra một công cụ là 'Công thức Số Lớp'.
Nhưng nhiều tháng trôi qua, Công thức Số Lớp vẫn ở ngoài tầm với.
Cuối mùa hè năm 1991,
tôi dự một hội thảo toán học.
John Coates bảo tôi,
có một bài báo mới rất hay của Matthias Flach, một sinh viên của ông.
Trong đó anh ta đã giải quyết Công thức Số Lớp
thật vậy, đây chính là Công thức Số Lớp mà tôi cần.
Flach sử dụng ý tưởng của Kolyvagin,
anh ấy đã làm được bước đầu tiên đầy ý nghĩa...
là lập được Công thức Số Lớp
Ngay lúc đó tôi cho rằng đã có cái để dùng.
Nó hoàn toàn thích hợp cho bài toán Fermat.
Bỏ hết thảy cách tiếp cận cũ đã theo đuổi,
ngày cũng như đêm, tôi quyết tâm mở rộng kết quả của Flach.
Andrew vẫn ở đấy, nhưng nổ lực của ông thì quá mạo hiểm và gian khổ.
Sau sáu năm làm việc trong đơn độc giờ đây ông cần có ai đó để chia sẻ.
Tháng Giêng năm 1993, một ngày nọ Andrew tới phòng uống trà gặp tôi...
và hỏi liệu rằng tôi có thể tới phòng làm việc của anh được không?
Có điều gì đó anh muốn bàn bạc với tôi.
Không rõ điều gì xãy ra ?
Tôi tới phòng làm việc của anh.
Đóng cửa,...
Anh nói, anh nghĩ rằng có thể chứng minh được Giả thuyết Taniyama-Shimura.
Tôi hết sức ngạc nhiên. Cứ tưởng là chuyện hoang đường.
Nick Katz là chuyên gia trong lĩnh vực mà tôi quan tâm.
Tôi nghĩ có lý do khác mà anh cần đến tôi.
Vì chắc rằng tôi là người kín đáo,
sẽ kín miệng không nói với ai.
Tôi đã làm tốt điều đó.
Một thời gian dài, Andrew Wiles và Nick Katz
đã trao đổi riêng với nhau bên bàn cà phê...
ở tận cuối phòng sinh hoạt chung,...
các chuyện này nọ về toán học.
Chúng tôi không hay biết chuyện gì.
Để ai đó khỏi tò mò công việc đang làm.
Andrew quyết định kiểm tra quá trình chứng minh của mình bằng cách bày ra một lớp chuyên đề...
để Nick Katz có thể công khai tham dự.
Thế là, tôi bắt đầu lên lớp thuyết trình cho lớp chuyên đề.
Rằng: này là Flach đã viết một bài báo tuyệt hay...
và tôi muốn mở rộng nó để chứng minh Công thức Số Lớp tổng quát.
Chỉ có điều ở đó tôi không giảng về Công thức Số Lớp
mà hầu như chỉ trình bày cách chứng minh Định lý Fermat của tôi.
Lớp chuyên đề này được thông báo rộng rãi...
với tên: "Các phép tính về phương trình elliptic". Điều đó có nghĩa là,...
ở đó không bàn gì tới Định lý Fermat, cũng như không đề cập gì tới Giả thuyết Taniyama-Shimura.
Nếu một khi bạn chưa sẵn sàng,
thì không cách nào có thể đoán được...
sự thật lớp chuyên đề đó là như thế nào?
Không nghiên cứu sinh nào dự lớp chuyên đề hiểu được bài giảng.
Vì vậy chỉ trong ít tuần lễ, họ nghỉ dần hết...
vì hầu như họ không thể...
theo dõi kịp nếu không biết gì về nó.
Ngay cả các chuyên gia, thật cũng chẳng dễ dàng gì.
Vì vậy sau ít tuần lễ, thính giả chỉ còn mỗi mình tôi.
Không thấy một sai sót nào ở bài thuyết trình.
Và lại nữa không đồng nghiệp nào của Andrew ngờ vực gì cả.
Anh giữ kín bí mật của mình.
Lý do tại sao anh lại im lặng. Có lẽ anh ấy không muốn lộ việc này ra ngoài.
Bạn không bao giờ biết được tại sao họ im lặng.
Phép chứng minh còn thiếu một yếu tố quan trọng...
nhưng giờ đây Andrew cảm thấy tự tin.
Đã đến lúc phải nhờ thêm một người nữa.
Thế là tôi gọi Peter và hỏi...
tôi có thể ghé qua nhà anh nói chuyện một chút được không.
Andrew điện thoại...
Nói rằng có một vài việc quan trọng...
muốn trò chuyện với tôi.
Không ngờ gì nữa, anh ấy có mấy thông tin làm tôi xúc động.
Tôi bảo: "Mình ngồi xuống đây nói chuyện tiện hơn"
Peter ngồi xuống.
Tôi nói: "Tôi nghĩ mình chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat"
Vô cùng kinh ngạc, tôi xúc động và bối rối.
Tôi nhớ rằng tối đó mình thật khó ngủ.
Vậy mà, vẫn còn một trở ngại!
Cuối mùa Xuân năm 1993, tôi rơi vào tâm trạng cực kỳ căng thẳng.
Cứ nghĩ rằng đã chứng tỏ hầu hết các phương trình elliptic là dạng modular...
đủ đạt yêu cầu để chứng minh Định lý Fermat.
Thế nhưng hãy còn...
một vài họ phương trình elliptic bị bỏ sót.
Suốt tháng 5 năm 1993, tôi ngồi nơi chiếc bàn này...
trăn trở phần còn lại của bài toán.
Rồi tình cờ lướt qua một bài báo của Barry Mazur...
trong đó có đoạn nhắc đến...
một công trình ở thế kỷ 19,
lập tức tôi thực hiện được một kỹ thuật biến đổi...
họ phương trình elliptic đang bị bế tắc.
Tôi đã khảo sát họ phương trình elliptic dựa trên số 3-nguyên tố...
bây giờ biến đổi chúng thành họ elliptic dựa trên số 5-nguyên tố để dễ khảo sát.
Công việc trông có vẻ lòng vòng nhưng tôi có thể biến đổi...
những phương trình phức tạp không thể chứng minh là dạng modular...
thành một tập hợp phương trình khác...
đã chứng minh được là dạng modular.
Để rồi dùng kiến thức đó dẫn tới bước chứng minh cuối cùng.
Và tôi kiên trì hoàn tất đến từng chi tiết phép chứng minh.
Bỏ mặc giờ giấc, tôi quên cả ăn trưa.
Tới giờ uống trà,
tôi xuống dưới nhà.
Nada lấy làm ngạc nhiên khi thấy tôi trễ quá.
Tôi nói với cô ấy, tôi tin rằng...
đã chứng minh được Định lý Fermat.
Tin chắc rằng mình đã có phép chứng minh Định lý Fermat trong tay.
Khi ấy có một Hội thảo Lý thuyết số ở Cambridge do giáo sư hướng dẫn tôi, John Coates chủ trì.
Tôi cho rằng đây là một nơi tuyệt vời,
vì đó là thành phố quê hương tôi và tôi cũng đã từng làm nghiên cứu sinh ở đây.
Một nơi lý tưởng để công bố chứng minh.
Tôi thấy mình phấn chấn hẳn lên.
Tên bài thuyết trình trên thông báo thì đơn giản:
"Phương trình elliptic và các biễu diễn Galois"
Nó chẳng nói gì tới Định lý Fermat.
Vâng, tôi có mặt tại hội nghị này vì quan tâm tới các hàm L và họ đường cong elliptic.
Đó là một hội nghị bình thường.
Dành cho tất cả các chuyên gia về lý thuyết số.
Dường như không có gì khác,
cho đến khi người ta bảo tôi rằng;
Nghe phong phanh có chuyện lạ...
về các báo cáo mà Andrew Wiles sẽ trình bày tại hội nghị.
Tôi bắt đầu trò chuyện với mọi người,
Về sau tôi càng nghe được nhiều thông tin chi tiết hơn không hiểu lan truyền từ đâu.
Không phải tôi đâu nhé! Không phải tôi.
Hễ có chuyện gì đồn ra bên ngoài...
thì Peter sẽ nói: "Ồ! Không có gì"
Hãy chờ cho tới khi các vị được nghe những thông tin đầy đủ hơn.
Có cái gì đó thật quan trọng sẽ vỡ ra...
Vâng, hình như ai đó đã tiết lộ điều gì.
Người ta hỏi về các báo cáo của tôi,
rằng thực sự tôi sẽ nói về cái gì?
Tôi chỉ trả lời: "Hãy đến nghe rồi sẽ thấy!".
Bầu không khí rất căng thẳng.
Có các chuyên gia về Lý thuyết số,
Hình Đại số ở hội nghị như:
Richard Taylor và John Coates. Cả Barry Mazur nữa.
Ồ, từ trước tới giờ tôi chưa bao giờ thấy báo cáo toán học nào tuyệt vời như thế!
Nó quá độc đáo!
Quá nhiều ý tưởng mới mẻ!
Liên tục tạo nên kịch tính.
Nó hấp dẫn từ đầu đến cuối.
Khoảnh khắc tuyệt diệu này còn dư âm...
khi phép chứng minh Định lý Fermat khép lại.
Sự căng thẳng đã tích tụ lên tới đỉnh điểm.
Cuối cùng, tôi viết lên bảng dòng cuối cùng về Định lí Fermat.
Đó là điều phải chứng minh !
Rồi kết thúc: -"Có lẽ, tôi xin phép được dừng ở đây"
Hôm sau, hoàn toàn bất ngờ,...
báo chí khắp nơi trên thế giới...
tới tấp phỏng vấn chúng tôi.
Sau bảy năm ròng rã, thì đây là một cảm giác tuyệt diệu.
Tôi đã thực sự giải xong bài toán.
Tôi đã hoàn tất công việc của mình.
Thế nhưng sau này, khi phép chứng minh được công bố rộng rãi,
vào phút chót, nó lại có vấn đề.
Giờ đây nó cần được giám định.
Công việc này được ủy quyền cho một tạp chí toán học có uy tín,
xem xét kỹ lưỡng để chắc rằng nó hoàn toàn đúng.
Thế là trong hai tháng: 7 và 8,
tôi chẳng làm gì khác ngoài việc soát xét từng dòng một bản thảo này.
Hằng ngày đào bới tận bản chất của nó.
Đôi khi ngày hai lần, tôi email hỏi Andrew.
"Tôi không hiểu, ở dòng này, trang này...
anh muốn nói gì? Dường như không ổn!"
hoặc: "Tôi thật sự không hiểu."
Nick gửi nhiều email cho tôi.
Cho tới cuối mùa hè, anh ấy gửi một email. Lúc đầu tôi tưởng đây chỉ là lỗi nhỏ.
Một rắc rối không đáng kể. Tôi thử giải quyết.
Thế là anh ấy gửi tôi một bản fax...
nhưng có vẻ như không nhằm câu hỏi.
Vì vậy tôi email lại cho anh.
Tôi nhận được một bản fax khác.
Nó không làm tôi thỏa mãn.
Thực tế thì đã có sai sót.
Sai sót cơ bản !
Suốt mùa Xuân, chúng tôi không nhận được bản sửa chữa nào Wiles.
Có sự cố trong phương pháp Flach-Kolyvagin...
mà tôi đã mở rộng.
Thế là vào cuối tháng 9, tôi đã nhận ra rằng,
thật sự có vấn đề trong cách giải,
bởi cái cách mà tôi đã thiết lập nên hệ thống chứng minh.
Suốt mùa Thu tôi cố gắng...
tìm kiểu biến đổi có thể xây dựng nên hệ thống chứng minh của mình.
Có nhiều phép biến đổi tự nhiên đơn giản và hay hơn,
để bất kỳ ai cũng có thể làm việc được.
Mỗi lần anh ấy...
cố sửa chữa một chỗ nào đó,
thì y như rằng...
lại nảy sinh trục trặc ở chỗ khác.
Tựa như phải trải tấm thảm...
ở trong một căn phòng nhỏ.
Anh đặt tấm thảm cho sát vào một góc phòng...
rồi lại đẩy nó sát vào góc khác.
thế mà ở góc còn lại, tấm thảm lại chòi ra!
Việc đặt tấm thảm vừa hay không vừa căn phòng...
không phải là điều anh ấy có thể quyết định được.
Tôi nghĩ, bề ngoài anh ấy làm ra vẻ bình thường,
nhưng tại thời điểm này anh đang cố bí mật với mọi người.
Tôi nghĩ, thật ra anh ấy cũng đang bức bối vì nó.
Bạn biết đấy, chúng tôi giữ kẻ nhau như những người ở điện Kremli ;-) vậy.
Thực sự không ai dám hỏi anh ấy
xem công việc chứng minh đi tới đâu rồi.
Thế là có ai đó nói: -"Sáng nay tôi thấy Andrew."
-"Anh ấy có cười không?" -"Vâng, có. Nhưng không được vui cho lắm."
Suốt 7 năm đầu tiên, một mình làm việc với bài toán,
tôi yêu nó trong từng khoảnh khắc.
Tuy nhiên thật khó khăn biết bao !
Nó thường né tránh tôi,
bởi có những chỗ tưởng như không thể khắc phục được.
nhưng khổ thay đây là việc của cá nhân và là cuộc chiến của riêng tôi.
Tôi bị nó mê hoặc.
Rồi sau đó, tự trong nó nảy sinh ra vấn đề.
Khi đó áp lực phải phô bày công việc mình làm ra mọi người...
quả không phải là tính cách của tôi...
và tôi không muốn tình huống này lập lại lần nào nữa.
Trong lúc tuyệt vọng, Andrew kêu gọi sự giúp đỡ.
Ông mời Richard Taylor, sinh viên cũ của ông...
tới Princeton để tham gia gỡ rối cùng ông.
Nhưng sau một năm thất bại, kết quả của bài toán vẫn bặt tăm.
Anh ấy chuẩn bị tư thế đầu hàng!
Một lần nữa, vào tháng 9,...
tôi quyết định xem xét lại cấu trúc nguyên thủy...
của phương pháp Flach-Kolyvagin.
Cố gắng tìm cho ra lý do vì sao phương pháp này không vận hành được.
Thử sai rồi tính toán cẩn thận.
Điều này trong toán học, không ai làm như thế cả.
Nhưng chỉ vì tôi muốn đầu óc mình được thư giãn...
vì nó mụ mẫm đi mất rồi.
Tôi ngồi tại bàn làm việc này.
Đó là buổi sáng thứ Hai, 19 tháng 9
Mặc dù không còn tin rằng nó có thể vận hành tốt,
nhưng tôi vẫn muốn biết tại sao như thế.
Khi ấy đột nhiên, hoàn toàn ngoài mong đợi,
tôi có được khám phá kỳ diệu này.
Tôi giải quyết được những gì đã bế tắc.
Chính xác là tôi giải được bài toán.
Ba năm trước, phải nói là tôi hầu như...
cố gắng sử dụng Lý thuyết Iwasawa.
Đó là khoảnh khắc quan trọng nhất trong sự nghiệp toán học của tôi...
Nó đẹp không sao tả xiết,
giản dị và sáng sủa làm sao.
Tôi nhìn chằm chằm vào nó chừng 20 phút mà lòng còn nghi ngại.
Thế rồi suốt ngày hôm đó, tôi tản bộ quanh trường.
Rồi quay lại bàn làm việc,
xem thử nó còn đó không.
Nó hãy còn đó.
Có lẽ phải dừng Phương pháp Flach-Kolyvagin lại thôi,
để sử dụng Lý thuyết hoành Iwasawa
(Mà cách đây ba năm, nó là cách tiếp cận đầu tiên của tôi để giải bài toán Fermat)
giờ đây đã áp dụng được một cách suôn sẻ.
Như vậy, từ đống tro tàn của phương pháp Flach-Kolyvagin đã xuất hiện câu trả lời đích thực cho bài toán.
Thế là, ngay trong đêm đầu tiên, tôi về nhà đánh một giấc ngon lành.
Sáng hôm sau, kiểm tra tất cả một lần nữa
tới 11 giờ...
thì xong.
Rồi tôi đi xuống dưới nhà nói với Nada:
"Anh đã đạt được...Anh nghĩ mình đã đạt được...Anh đã tìm được..."
Thật bất ngờ quá!
Tôi e rằng cô ấy nghĩ tôi nói về đồ chơi hay thứ gì đó của mấy đứa trẻ.
Nada nói: "Anh tìm được gì?"
Tôi nói: "Anh đã khắc phục được cách chứng minh. Anh đã làm được"
Tôi nghĩ, bài giải này sẽ là một trong những thành tựu vĩ đại của Lý thuyết số.
Nó quá tráng lệ !
Giờ đây, mỗi ngày các anh không còn phải nghe thấy có ai đó tìm cách giải bài toán của thế kỷ nữa.
Ồ vâng, phản ứng đầu tiên của tôi là: "Tôi đã nói với các anh như thế rồi mà !"
Giờ đây "Taniyama-Shimura" không còn là một giả thuyết nữa.
Kết quả kiểm tra cho thấy Định lý Fermat giờ đã được chứng minh.
Nhưng chứng minh của Andrew có giống như của Fermat ?
Fermat không thể có cách chứng minh như thế này.
Đó là chứng minh của thế kỷ 20.
Trước thế kỷ 20, không công cụ toán học nào có thể dùng để chứng minh được nó.
Giờ đây tôi rất vui rằng kết quả này là đúng đắn.
Thế nhưng mặt khác tôi lại buồn...
mà Định lý Fermat chính là nguyên nhân.
Chúng ta sẽ có bài toán nào thế chỗ nó?
Sẽ không có bài toán nào có ý nghĩa như thế với tôi nữa.
Tôi có một đặc ân rất hiếm hoi là có thể theo đuổi ước mơ thời niên thiếu,
trong suốt cuộc đời mình.
Một cơ hội hiếm hoi.
Nếu một ai có thể làm được điều này
thì nó có ý nghĩa hơn bất cứ những gì người ấy có thể hình dung ra được.
Một trong những ý nghĩa thú vị nhất,
là nó đã thôi thúc ý tưởng của nhiều nhà toán học.
Tuy chưa đủ, nhưng tôi cũng lập được danh sách một số nhà toán học chịu ảnh hưởng Định lý Fermat...
nào là Klein, Fricke, Hurwitz, Hecke, Dirichlet, Dedekind...
Phép chứng minh Langlands-Tunnell
Deligne, Rapoport, Katz...
Ý tưởng của Mazur (nhờ việc dùng Lý thuyết biến dạng của các biểu diễn Galois)
Igusa, Eichler, Shimura, Taniyama...
Phép quy nạp của Frey...
Danh sách này còn dài nữa...
nào là Bloch, Kato, Selmer, Frey, Fermat...
Riêng tặng phụ đề này tới các bạn trẻ yêu Toán Khổng Xuân Hiền E.mail: kxuanhien@gmail.com Quy Nhơn, 8/2008