Tip:
Highlight text to annotate it
X
Trong video này, tôi muốn bạn quen với ý tưởng của một giới hạn, đó là một ý tưởng cực kỳ quan trọng.
Nó thực sự là ý tưởng nền tảng của giải tích
Nhưng mặc dù là quan trọng như vậy, nó thực sự là một ý tưởng thực sự thực sự đơn giản.
Vì vậy, cho tôi rút ra một chức năng ở đây - thực sự, hãy để tôi xác định một chức năng
Ở đây. Một loại của một chức năng đơn giản. Vì vậy, hãy xác định f (x) - hãy nói rằng f (x) sẽ là (x-1)/(x-1).
Và bạn có thể nói, "Hey Sal, nhìn, tôi có tương tự trong tử và mẫu.
Nếu tôi có một cái gì đó chia ra bởi chính nó, mà sẽ chỉ được bằng 1! Đơn giản không thể tôi chỉ hóa này cho f (x) = 1? "
Và tôi sẽ nói, "Vâng, bạn đang gần như thật, sự khác biệt giữa f (x) = 1 và điều này phải qua
Đây là điều này là không xác định khi x = 1. Vì vậy, nếu bạn đặt - cho tôi viết nó trên đây - nếu bạn có
f(1), những gì sẽ xảy ra? Trong tử, bạn có được (1-1), mà là... Hãy để tôi chỉ viết nó...
tử bạn nhận được 0, và trong mẫu số bạn nhận được (1-1), mà cũng là 0. Và do đó, bất cứ điều gì chia
bởi 0, bao gồm 0/0, điều này là không xác định. Vì vậy, bạn có thể làm cho đơn giản hóa - bạn có thể nói rằng điều này là
tương tự như f (x) = 1, nhưng bạn sẽ có thêm những hạn chế đó x không thể được bằng 1. Bây giờ điều này
và điều này là tương đương. Cả hai sẽ được bằng 1, cho tất cả x'es khác hơn là 1. Nhưng
tại x = 1, nó sẽ trở thành không xác định. Điều này là không xác định và điều này là undefined. Vậy làm thế nào sẽ đồ thị chức năng này?
Vì vậy, hãy để tôi đồ thị nó... Đó là trục y=f(x) của tôi, và sau đó điều này trên đây là trục x của tôi, và sau đó giả sử
Đây là điểm x = 1, điều này trên đây sẽ là x =-1, đây là y = 1, phải lên có tôi có thể làm -1 nhưng mà
không làm nhiều liên quan đến chức năng này ngay trên đây, và và cho tôi đồ thị đó. Vì vậy, nó là chủ yếu cho
bất kỳ x khác hơn là 1, f (x) = 1. Vì vậy nó sẽ như thế này... ngoại trừ 1. 1, F (x) là không xác định, vì vậy
Tôi sẽ đặt một ít của một khoảng cách ngay trên đây, vòng tròn này, để biểu thị rằng chức năng này
là không xác định - chúng tôi không biết những gì chức năng này bằng 1, chúng tôi không bao giờ định nghĩa nó.
Định nghĩa này của hàm không cho chúng tôi những việc cần làm 1 - nó có nghĩa là undefined khi x = 1.
Vì vậy đây là quyền chức năng hơn ở đây, và do đó một lần nữa, nếu ai đó đã hỏi bạn những gì là f(1), bạn sẽ đi...
và chúng ta hãy nói, Vâng đây là một định nghĩa chức năng, bạn sẽ đi x = 1. Oh chờ đợi, có một khoảng cách trong hàm của tôi
trên đây, nó là không xác định. Vì vậy, cho tôi viết nó một lần nữa... tốt, đó là loại dự phòng nhưng tôi sẽ viết lại nó.
f(1) là không xác định. Nhưng nếu tôi đã yêu cầu bạn, những gì là các chức năng tiếp cận
khi x = 1? Và bây giờ, điều này là bắt đầu để liên lạc trên ý tưởng của một giới hạn. Như vậy là x được gần hơn và gần gũi hơn với 1...
những gì là các chức năng tiếp cận? Cũng thời gian toàn bộ này, những gì nó nhận được gần hơn và gần gũi hơn?
Ở phía bên tay trái, không có vấn đề như thế nào gần bạn nhận được 1, miễn là bạn không phải lúc 1, f (x) = 1.
Trên đây từ phía bên tay phải, bạn sẽ có được những điều tương tự. Vì vậy, bạn có thể nói - và bạn sẽ nhận được
càng nhiều quen thuộc với ý tưởng này như chúng tôi làm thêm ví dụ - mà giới hạn khi
x (và lim, viết tắt giới hạn) - là x 1 f (x) là tương đương với phương pháp tiếp cận...
Chúng tôi khi chúng tôi nhận được gần gũi hơn chúng tôi có thể không ngờ, vô hạn gần 1 miễn là chúng tôi không phải 1...
Và chức năng của chúng tôi là có được bằng 1, nó nhận được gần hơn và gần gũi hơn với 1,
nó là trên thực tế tại 1 trong suốt thời gian. Vì vậy trong trường hợp này, chúng tôi có thể nói là giới hạn khi x tiến tới 1 f (x)
là 1. Vì vậy một lần nữa, có ký hiệu rất lạ mắt, chúng tôi đang chỉ nói, "nhìn, những gì là chức năng gần
khi x được gần hơn và gần gũi hơn với 1?"
Hãy để tôi làm một ví dụ khác mà chúng tôi đang đối phó với một đường cong, chỉ vì vậy mà bạn có những ý tưởng chung.
Vì vậy, hãy nói rằng tôi có f (x) chức năng - cho tôi, chỉ vì lợi ích của đa dạng, hãy để tôi gọi nó là g(x).
Hãy nói rằng chúng tôi đã g(x) là tương đương với - tôi có thể xác định nó này cách này, chúng tôi có thể xác định nó là x ²
khi x không bằng 2, và chúng ta hãy nói rằng khi x = 2, nó là bằng 1. Vì vậy, một lần nữa, loại một thú vị
chức năng - như bạn sẽ nhìn thấy - là không đầy đủ liên tục. Đô thị này có một gián đoạn. Hãy để tôi đồ thị đó.
Để sửa trục y=f(x) của tôi, đây là trục x của tôi ngay trên đây. Hãy nói rằng đây là x = 1, đây là x = 2,
Đây là -1, đây là -2... Vì vậy ở khắp mọi nơi ngoại trừ x = 2, nó là tương đương với x ². Vì vậy, cho tôi rút ra nó như thế này,
Điều này có là một hình parabol, nó trông giống như thế này... Nó đang xảy ra để tìm một cái gì đó...
Hãy để tôi rút ra một phiên bản tốt hơn của hình parabol. Vì vậy, nó trông giống như thế này, không thật đẹp nhất
parabol rút ra trong lịch sử của bản vẽ hình parabol, nhưng tôi nghĩ rằng nó sẽ cung cấp cho bạn ý tưởng về những gì một parabol
có vẻ như, hy vọng. Nó nên được đối xứng... Hãy để tôi vẽ lại nó, vì đó là kinda xấu xí.
Đó là tìm kiếm tốt hơn, được rồi, alright, có bạn đi. Alright.
Bây giờ, điều này cần là các đồ thị của chỉ x ², nhưng nó không phải là x ² khi x = 2. Vì vậy, một lần nữa, khi x = 2,
chúng tôi cần phải có một chút của một gián đoạn ở đây, do đó, tôi sẽ rút ra một khoảng cách ngay trên đó,
bởi vì khi x = 2, chức năng là bằng 1.
Tôi không làm chúng trên quy mô tương tự... Trên đồ thị của f (x) = x ² đây sẽ là 4, đây sẽ là 2,
Điều này sẽ là 1, đây sẽ là 3. Vì vậy, x = 2, chức năng của chúng tôi là bằng 1.
Vì vậy, đây là một chút của một chức năng kỳ lạ, nhưng bạn có thể định nghĩa nó theo cách này, bạn có thể xác định một chức năng Tuy nhiên
bạn có muốn định nghĩa nó! Và như vậy, thông báo, nó chỉ giống như các đồ thị của f (x) = x ² ngoại trừ khi bạn nhận được để 2,
đô thị này có khoảng cách này, bởi vì bạn không sử dụng các "g (x) = x ² khi x = 2", bạn sử dụng "g (x) = 1".
Nếu tôi đã nói f (x), tôi xin lỗi cho điều đó.
Bạn sử dụng g (x) = 1, vì vậy sau đó chỉ cần chính xác tại 2, nó giảm xuống đến 1, và sau đó nó giữ đi dọc theo x ².
Do đó, có một vài điều. Nếu tôi là là để chỉ đánh giá các chức năng - g(2),
Vâng, bạn nhìn vào định nghĩa này. Rồi, khi x = 2, tôi sử dụng tình hình này ngay trên đây,
và nó nói với tôi nó là có được bằng 1. Hãy để tôi hỏi một câu hỏi thú vị hơn, hoặc có lẽ là một chi tiết
câu hỏi thú vị. Giới hạn khi x tiến tới 2 của g(x) là gì? Một lần nữa, ưa thích ký hiệu, nhưng
đó là yêu cầu một cái gì đó khá khá đơn giản. Nó nói "khi x được gần hơn và gần gũi hơn với 2...
khi bạn nhận được gần hơn và gần gũi hơn - và điều này không phải là một định nghĩa chặt chẽ, chúng tôi sẽ làm điều đó trong tương lai video-
khi x được gần hơn và gần gũi hơn với 2, những gì là g(x) gần? Vì vậy, nếu bạn có thể 1.9, và sau đó 1,999, và sau đó 1.999999
và sau đó 1.9999999, những gì là g(x) đến gần? Nếu bạn đã đi từ hướng tích cực,
Nếu bạn đã nói 2.1, g(2.1) là gì? G(2.01) là gì? G(2.001) là gì?
What's that tiếp cận như chúng tôi nhận được gần hơn và gần gũi hơn với nó?
Và bạn có thể nhìn thấy nó trực quan chỉ bằng cách vẽ đồ thị. Như g được gần hơn và gần gũi hơn với 2...
Và nếu chúng tôi đã làm theo nó dọc theo đồ thị, chúng tôi thấy rằng chúng tôi đang tiếp cận 4,
Mặc dù đó là không nơi các chức năng - chức năng giảm xuống đến 1 - giới hạn của g(x) như
x tiến tới 2 là tương đương với 4. Bạn thậm chí có thể làm điều này tính bằng cách sử dụng một máy tính.
Và cho tôi làm điều đó, vì tôi nghĩ rằng sẽ được thú vị. Vì vậy, hãy để tôi nhận được một máy tính...
Hãy để tôi có được đáng tin cậy TI-85 ra... Vì vậy, đây là máy tính của tôi... Và bạn có thể tính nói,
được rồi, những gì nó sẽ cách tiếp cận như bạn tiếp cận x = 2? Vì vậy, hãy thử 1.9. For x = 1.9, bạn sẽ sử dụng này
mệnh đề đầu trang, ngay trên đây. Vì vậy, bạn sẽ có 1.9², và như vậy bạn sẽ nhận được 3,61.
Vâng, nếu bạn nhận được thậm chí gần gũi hơn với 2? Vì vậy 1.99, và một lần nữa cho tôi quảng trường đó,
Vâng, tôi đang ở 3,96. Điều gì nếu tôi làm 1,999 và tôi vuông gì?
Tôi sẽ nhận được 3.996. Thông báo, tôi nhận được gần hơn và gần gũi hơn và gần gũi hơn để điểm của chúng tôi.
Nếu tôi đã thực sự đóng - 1.999999999999²? Tôi sẽ có được những gì? Nó là không thực sự có
chính xác 4 - máy tính này chỉ tròn những điều lên - vì chúng tôi sẽ nhận được một số thực sự thực sự
thực sự thực sự gần gũi với 4. Và chúng tôi có thể làm điều gì đó từ hướng tích cực, quá, và nó thực sự
đã là cùng một số khi chúng tôi tiếp cận từ các bên dưới, những gì chúng tôi đang cố gắng để tiếp cận,
và ở trên những gì chúng tôi đang cố gắng để tiếp cận. Do đó, nếu chúng ta cố gắng 2.1², chúng tôi có 4,4...
Hãy để tôi đi một vài bước trước...
2.0001². Đây là nhiều gần gũi hơn với 2 bây giờ. Bây giờ chúng tôi nhận được gần gũi hơn nhiều với 4.
Vì vậy các gần chúng tôi nhận được để 2, gần gũi hơn nó có vẻ như chúng tôi nhận được 4.
Vì vậy, một lần nữa đó là một số cách để thấy rằng giới hạn khi x 2 cách tiếp cận từ hai hướng
g(x) - mặc dù ngay tại 2, chức năng là bằng 1, bởi vì nó là không liên tục-
giới hạn như chúng tôi đang tiếp cận 2, chúng tôi nhận được gần hơn và gần gũi hơn và gần gũi hơn với 4.